已知函数f(x)=(x^2+2x+2a)/2x 定义域为（0,2]其中，a为常数

f(x)=1/2*(x+2a/x +2)
令y=x +2a/x
根据基本不等式易知：当x>0时x=根号(2a)取到最小值
f(x2)-f(x1)=1/2*(x2-x1)(1-2a/x1x2)
当0<x1<x2<根号(2a)时,x1x2<2a
即1-2a/x1x2<0
故f(x2)<f(x1)
函数单调递减。
当x2>x1>根号(2a)
x1x2>2a
即1-2a/x1x2>0
故f(x2)>f(x1)
函数单调递增
所以函数在（0，根号（2a）)上单调递减，在(根号(2a),正无穷）上单调递增
若0<a<=2,因为定义域为（0,2]
所以函数在（0，根号（2a）)上单调递减，在[根号(2a),2]上单调递增
此时最小值在x=根号(2a)时取得，为根号(2a)+1,无最大值，值域为【根号(2a)+1，正无穷)
若a>2，2<根号(2a),函数在定义域里单调递减
x=2取最小值a/2 +2,值域为[a/2 +2,正无穷)

f(x)=(x²+2x+2a)/2x=(x/2)+(a/x)+1，可见f(x)是个勾函数。
因为0<x≤2，所以运用均值不等式有
f(x)≥2√[(x/2)*(a/x)]+1=1+√(2a)，当x/2=a/x，即x=√(2a)时取得等号。
就是说当x=√(2a)时，勾函数处于最低点。

（1）因为0<a≤2，所以0<√(2a)≤2，f(x)在(0，2]上先减后增，
f(x)min=f(√(2a))=1+√(2a)
f(x)的值域为(-∞，1+√(2a)]

（2）因为a>2，所以√(2a)>2，f(x)在(0，2]单调递减，
f(x)min=f(2)=2+a/2
f(x)的值域为(-∞，2+a/2]

(1)(√2a+1，正无穷)
(2) (2+a/2,正无穷)